حل تمرین صفحه 23 ریاضی هشتم

تساوی $ ( \square, ۴) = ۱ $ به این معنی است که بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) عدد داخل مربع و عدد ۴، باید برابر با ۱ باشد. به اعدادی که این ویژگی را دارند، «نسبت به هم اول» می‌گویند. برای اینکه عددی نسبت به ۴ اول باشد، نباید هیچ شمارنده اول مشترکی با آن داشته باشد. عدد ۴ از عامل اول ۲ تشکیل شده است ($۴=۲^۲$). بنابراین، هر عددی که بر ۲ بخش‌پذیر نباشد (یعنی **فرد** باشد)، نسبت به ۴ اول است. چهار پاسخ مختلف می‌تواند اعداد فرد زیر باشد: - **۱** $ \implies (۱,۴)=۱ $ - **۳** $ \implies (۳,۴)=۱ $ - **۵** $ \implies (۵,۴)=۱ $ - **۹** $ \implies (۹,۴)=۱ $

عدد اول، عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که هیچ شمارنده‌ای به جز ۱ و خودش نداشته باشد. برای پیدا کردن اعداد اول بین ۴۰ و ۶۰، اعداد این بازه را بررسی می‌کنیم و آنهایی را که فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیر هستند، انتخاب می‌کنیم. اعداد اول در این بازه عبارتند از: **۴۱, ۴۳, ۴۷, ۵۳, ۵۹**

تعداد عددهای مرکب کوچک‌تر از ۲۰، **۱۰ عدد** است. **چرا؟** اعداد طبیعی کوچک‌تر از ۲۰، شامل اعداد ۱ تا ۱۹ هستند که در مجموع **۱۹ عدد** می‌باشند. این اعداد به سه دسته تقسیم می‌شوند: ۱. **اعداد اول:** که طبق صورت سوال **۸** عدد هستند ($۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹$). ۲. **عدد یک:** که نه اول است و نه مرکب (**۱** عدد). ۳. **اعداد مرکب:** بقیه اعداد در این بازه مرکب هستند. بنابراین، برای پیدا کردن تعداد اعداد مرکب، کافی است تعداد اعداد اول و عدد یک را از کل اعداد کم کنیم: $ \text{تعداد کل} - (\text{تعداد اعداد اول} + \text{تعداد عدد یک}) = \text{تعداد اعداد مرکب} $ $ ۱۹ - (۸ + ۱) = ۱۹ - ۹ = ۱۰ $ این ۱۰ عدد عبارتند از: $۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ۱۲, ۱۴, ۱۵, ۱۶, ۱۸$.

این سؤال ناقص است. متن سوال به "جملۀ زیر" اشاره می‌کند، اما هیچ جمله‌ای در تصویر برای بررسی درستی یا نادرستی ارائه نشده است. لطفاً جمله مورد نظر را ارائه دهید تا بتوان به سوال پاسخ داد.

آن دو عدد اول **۲** و **۹۷** هستند. **توضیح روش پیدا کردن:** ۱. مجموع دو عدد ($۹۹$) یک عدد **فرد** است. ۲. مجموع دو عدد تنها زمانی فرد می‌شود که یکی از آن دو عدد **فرد** و دیگری **زوج** باشد. ۳. در بین تمام اعداد اول، تنها عدد اولی که زوج است، عدد **۲** می‌باشد. ۴. بنابراین، یکی از دو عدد مورد نظر حتماً باید ۲ باشد. ۵. عدد دوم را با کم کردن ۲ از مجموع به دست می‌آوریم: $ ۹۹ - ۲ = ۹۷ $. ۶. در نهایت بررسی می‌کنیم که آیا ۹۷ نیز عددی اول است. با تقسیم ۹۷ بر اعداد اول کوچک‌تر از $ \sqrt{۹۷} \approx ۹.۸ $ (یعنی ۲، ۳، ۵ و ۷) متوجه می‌شویم که بر هیچ‌کدام بخش‌پذیر نیست. پس ۹۷ نیز اول است.

اعدادی که شمارنده‌های اول آنها فقط ۲ و ۳ باشند، از حاصل‌ضرب توان‌های مختلف این دو عدد ساخته می‌شوند (به فرم $ ۲^a \times ۳^b $). پنج مثال از این اعداد: - $ ۶ = ۲ \times ۳ $ - $ ۱۲ = ۲^۲ \times ۳ = ۴ \times ۳ $ - $ ۱۸ = ۲ \times ۳^۲ = ۲ \times ۹ $ - $ ۲۴ = ۲^۳ \times ۳ = ۸ \times ۳ $ - $ ۳۶ = ۲^۲ \times ۳^۲ = ۴ \times ۹ $

عددی که ۴ و ۹ شمارنده‌های آن باشند، باید بر کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) این دو عدد بخش‌پذیر باشد. ۱. ک.م.م ۴ و ۹: از آنجایی که ۴ و ۹ نسبت به هم اول هستند، ک.م.م آنها برابر با حاصل‌ضربشان است. $ [۴,۹] = ۴ \times ۹ = ۳۶ $. ۲. پس ساده‌ترین عددی که می‌توان در نظر گرفت، **۳۶** است. ۳. شمارنده‌های عدد ۳۶ عبارتند از: $ \{۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۹, ۱۲, ۱۸, ۳۶\} $. شش شمارنده دیگر عدد ۳۶ (به جز ۴ و ۹) عبارتند از: **۱, ۲, ۳, ۶, ۱۲, ۱۸**